西英国海岸线的维度约1.25

白熊1

       Mandelbrot有一句名言：“云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的。”

       Mandelbrot在《英国海岸线有多长》中指出，这个问题对实际生活造成的困扰之一就是，按照传统的方法，我们实际上是无法精确测量像海岸线这样的自然对象的测度的。因为对于海岸线这样的结构，用愈小的尺子，就能测出愈多的“坑坑洼洼”，得到的长度也越长。

       那么，如何去描述这样的结构呢？我们需要用到“分数维”的思路。经典的欧式几何只使用了一二三等“整数维”，而“分形几何”则谈论那些具有分数维的对象。直观地说，一条拉直的线是一维的，而如果它像海岸线一样变得歪歪扭扭，就可能介于1维到2维之间。以此类推，一个像榴莲壳一样极不平整的面的维度就介于2和3之间，一个由各种毛细管道构成的生物体的维度就介于3和4之间···

       测量分数维有很多种方法，这里集中讨论其中最常用的一种：盒子维（box dimension，在Mandelbrot的原文中被称为Hausdorff Dimension）。盒子维，顾名思义，就是用一个个“小盒子”去量对象的测度。这种方法抓住了分形结构“用来量的尺子越短，得到的长度越长”的特点，先用布满空间的大盒子去套对象，被“装到”的部分记为1，没“装到”的部分记为0，去数有多少个记为1的盒子；然后再一步一步使用越来越小的盒子，由此对对象的测量渐趋精细。用个比喻的说法，这个测量过程就好比从飞机上带着降落伞往下跳，一开始看见的海岸线比较平滑，随着高度下降，距离拉近，看到的结构越来越复杂，得到的信息也越来越多，测得的长度也越来越接近真实值。

       把在这个过程中每一步的“盒子”的在一维尺度上的缩小倍数画在X轴上，数得的相应的抓到对象的盒子数画在Y轴上，每一步得到一个点，把这些点连起来，在双对数坐标轴中，就会形成一条直线，这条直线的斜率就是对象的分形盒子维。

       实际上，我们可以测出西英国海岸线的维度大概为1.25，而与之比较，南非海岸线的维度为1.02（参见Richard的研究结果），所以，英国西海岸要比南非海岸更“坑坑洼洼”一点。

白熊1

从这个观点上看，当测量出现无限的时候就不再是整数维度了。比如，用老方法测量的话，英国海岸线是无穷长。当然，要是把世界简单认为是离散化的，也许测量有个尽头，但要认为离散化只是连续场的涟漪，海岸线就又是无限长了。

rayman.rr

没有明确说明进一步使用更小的盒子，究竟是小多少呢？

崎岖的白熊

意外感染

感觉这个说法是基于这个~
https://www.youtube.com/watch?v=9AFEq9HEwgo
视频里有几个有意思的循环~